关于环域内非线性薛定谔方程径向正归一化解

我们关注如下半线性椭圆问题：\begin{equation*} \begin{cases} -\Delta u + \lambda u = u^{p-1} \ \text{in} \ T,\\ u > 0, u = 0 \ \text{on} \ \partial T,\\ \int_{T}u^{2} \, dx= c \end{cases} \end{equation*} 其中 $T = \{x \in \mathbb{R}^{N}: 1 < |x| < 2\}$ 为 $\mathbb{R}^{N}$ 中的环域，$N \geq 2$，$p > 1$ 为 Sobolev 次临界，我们寻找（关于 $c$、$N$ 与 $p$ 的）使正径向解存在的条件。我们分析当 $\lambda \rightarrow +\infty$ 与 $\lambda \rightarrow -\lambda_1$ 时 $c$ 的渐近行为，以得到归一化解的存在性、不存在性与多解性。此外，基于这些解的性质，我们推广了 \cite{pierotti2017normalized} 中获得的结果。与早期结果相反，当 $N \geq 3$ 或 $N = 2$ 且 $p < 6$ 时，可得到具有任意大质量的正径向解。本文还包含轨道稳定性/不稳定性结果的证明。