径向区域中完全非线性方程的存在性结果

我们考虑完全非线性问题 \begin{equation*} \begin{cases} -F(x,D^2u)=|u|^{p-1}u & \text{在 $\Omega$ 中}\\ u=0 & \text{在 $\partial\Omega$ 上} \end{cases} \end{equation*} 其中 $F$ 是一致椭圆的，$p>1$，且 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^n$（$n\geq2$）中的圆环或球体。我们证明以下结果：\begin{itemize} \item[i)] 若 $\Omega$ 为圆环，则对每个指数 $p>1$ 存在正/负径向解；\item[ii)] 若 $\Omega$ 为圆环，则对每个 $p>1$ 存在无穷多个以节点区域数目为特征的变号径向解；\item[iii)] 若 $F$ 是 Pucci 算子之一，$\Omega$ 为球体且 $p$ 为次临界，则存在无穷多个以节点区域数目为特征的变号径向解。