径向集上非局部非线性边值问题解的对称性

对于开径向集 $\Omega\subset \mathbb{R}^N$, $N\geq 2$, 我们考虑非线性问题 $$(P)\quad Iu=f(|x|,u) \quad\text{在 $\Omega$ 中,}\quad u\equiv 0\quad \text{在 $\mathbb{R}^N\setminus \Omega$ 上, 且 }\lim_{|x|\to\infty} u(x)=0,$$ 其中 $I$ 是非局部算子, $f$ 是非线性项。在对 $I$、$f$ 和 $\Omega$ 的温和对称性与单调性假设下, 我们证明 $(P)$ 的任意连续有界解只要满足关于某超平面的简单反射不等式, 便是轴对称的。在 $f$ 不依赖于 $|x|$ 的特殊情形下, 我们证明 $\mathbb{R}^N$ 中 $(P)$ 的任意非负非平凡连续有界解是径向对称（模平移）且在其径向方向上严格递减的。我们的证明依赖于针对反对称上解的最大值原理的不同变体。作为一个应用, 我们证明了与 $(P)$ 相关的能量泛函极小元的轴对称性结果。