平面中在对称性与 Morse 指标约束下的单调性结果

本文研究半线性椭圆方程类型的解 $$\left\{\begin{array}{ll} -\Delta u = f(|x|, u) \qquad & \text{ in } \Omega, \\ u= 0 & \text{ on } \partial \Omega, \end{array} \right.$$ 其中 $\Omega$ 是平面的径向对称区域，可以有界或无界。我们考虑在某一角度 $\theta$ 的旋转下不变、且在这些旋转下不变的函数空间中 Morse 指标有界的解 $u$。我们可以证明：要么 $u$ 是径向的，要么存在一个方向 $e\in \mathcal S$ 使得 $u$ 关于 $e$ 对称，并且在角度为 $\frac{\theta}2$ 的扇形中关于角变量严格单调。该结果适用于在旋转不变函数空间中的最小能量解与 nodal 最小能量解，并产生多重性结果。