具有奇异非线性的椭圆问题在半稳定与不稳定解分支上的紧性

我们研究有界区域 $\Omega \subset \R^N$ 上 Dirichlet 边值问题 $-\Delta u=\frac{\lambda f(x)}{(1-u)^2}$ 的半稳定与不稳定解(即其 Morse 指数至多为 1 的解)分支,该问题除其他外还模拟了一个简单的静电微机电系统(MEMS)器件。我们通过获得在任何区域 $\Omega$ 上以及对一大类“介电分布” $f$ ,当 $1\leq N \leq 7$ 时沿不稳定分支的紧性,推广了 [11] 中关于极小分支的结果。我们还展示了一个显著事实:幂型分布 $f(x) \simeq |x|^\alpha$ 可以推迟该问题的临界维数 N=7,通过在单位球上对于半稳定分支也建立紧性,且当 $N\geq 8$ 以及只要 $\alpha>\alpha_N=\frac{3N-14-4\sqrt{6}}{4+2\sqrt{6}}$ 时亦成立。作为副产品,我们能够跟踪分歧图的第二分支并证明在自然的 $\lambda$ 范围内第二解的存在性。在所有这些结果中,关于空间维数与分布幂次的条件本质上是尖锐的。