混合型局部与非局部半线性椭圆方程弱解的存在性与正则性

我们研究了由常规 Laplacian 和分数 Laplacian 混合驱动的半线性椭圆方程 Dirichlet 问题中弱解的存在性、数目性与正则性结果。具体为：\n\n\begin{equation*}\n\left\{\n\begin{array}{ll}\n-\Delta u + (-\Delta)^{s} u+ a(x)\ u =f(x,u) & \hbox{in $\Omega$,} \nu=0 & \hbox{in $\mathbb{R}^n\backslash\Omega$}\n\end{array}\n\right.\n\end{equation*}\n\n其中 $s \in (0,1)$，$\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$ 为有界域，系数 $a$ 为 $x$ 的函数，次临界非线性 $f(x,u)$ 在零点与无穷处均具有次线性增长。我们通过 Linking 定理与 Mountain Pass 定理分别证明当 $\lambda_{1} \leqslant 0$ 和 $\lambda_{1} > 0$ 时存在非平凡弱解，其中 $\lambda_{1}$ 为算子 $-\Delta + (-\Delta)^{s} +a(x)$ 的第一个特征值。特别地，通过对 $f$ 施加对称条件，我们借助 Fountain 定理得到无数多个解。此外，在正则性方面，我们首先证明了弱解的 $L^{\infty}$-有界性，然后在边界处建立至 $C^{2, \alpha}$-正则性。