非局部分数阶方程解的存在性与局部化

本文致力于研究涉及一般分数型积分-微分算子的非局部方程至少一个弱解的存在性。作为一个特例，我们为分数阶 Laplacian 导出了一个存在性定理，找到了方程 \begin{eqnarray*} \begin{cases} (-\Delta)^s u=h(x)f(u) & {\mbox{ in }} \Omega\ u=0 & {\mbox{ in }} \mathbb{R}^n\setminus \Omega, \end{cases} \end{eqnarray*} 的一个非平凡弱解，其中 $h\in L^{\infty}_+(\Omega)\setminus\{0\}$ 且 $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ 是一个适当的连续函数。这些问题具有变分结构，我们通过利用一个关于定义在自反 Banach 空间上的光滑泛函的近期局部极小值结果，为其找到了一个非平凡弱解。为使非线性方法奏效，需要对所涉及的分数阶空间进行细致的分析。