涉及拉普拉斯算子平方根的非线性方程

本文讨论在光滑有界区域$\Omega\subset \mathbb{R}^n$ ($n\geq 2$)内、具有零Dirichlet边界条件、涉及拉普拉斯算子平方根$A_{1/2}$的参数分数阶方程弱解的存在性与非存在性。具体而言，我们的简单模型为如下方程 \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{ll} A_{1/2}u=\lambda f(u) & \mbox{ in } \Omega\\ u=0 & \mbox{ on } \partial\Omega. \end{array}\right. \end{equation*} 对于较大的参数$\lambda$，在要求非线性项$f$连续、在零处超线性且在无穷远处次线性的条件下，我们建立了至少两个非平凡的$L^{\infty}$有界弱解的存在性。我们的方法基于变分论证以及Caffarelli-Silvestre延拓方法的一个适当变体。