渐近非负 Ricci 曲率完备非紧黎曼流形上的椭圆问题

本文讨论了在具有渐近非负 Ricci 曲率和内在度量 $d_g$ 的完备非紧 $d$ 维（$d\geq 3$）黎曼流形 $(\mathcal{M},g)$ 上，涉及 Laplace-Beltrami 算子 $\Delta_g$ 的参数方程弱解的存在性与非存在性。即，我们的简单模型是以下问题：$$\left\{ \begin{array}{ll} -\Delta_gw+V(\sigma)w=\lambda \alpha(\sigma)f(w) & \mbox{ in } \mathcal{M}\\ w\geq 0 & \mbox{ in } \mathcal{M} \end{array}\right.$$ 其中 $V$ 是正强制势，$\alpha$ 是正有界函数，$\lambda$ 是实参数，$f$ 是合适的连续非线性项。在要求非线性项 $f$ 非平凡、连续、在零点处超线性且在无穷远处次线性的条件下，我们证明了当参数 $\lambda$ 取较大值时至少存在两个非平凡有界弱解。我们的方法基于变分法。我们的方法不需要对截面曲率作任何假设，也不需要对称性理论论证。