黎曼几何中半线性椭圆方程的一个反问题

我们研究在光滑紧黎曼流形 $(\mathcal M,g)$（具有光滑边界）上定义的复值标量函数 $V:\mathcal M \times \mathbb C\to \mathbb C$ 的唯一恢复反问题，给定半线性方程 $-\Delta_{g}u+V(x,u)=0$ 在适当意义下的 Dirichlet 到 Neumann 映射。我们证明在某些几何假设下，对一大类非线性项可证明唯一性。证明是构造性的，基于在线性化算子的复几何光学解附近对半线性方程进行多重线性化以及由此产生的非线性相互作用。这些非线性相互作用导致了对沿测地线的加权变换的研究，我们称之为 Jacobi 加权射线变换。