一类半线性波动方程反问题的唯一性与稳定性

我们考虑在 $\mathbb{R}^{n+1}$（$n\geq 1$）上恢复与半线性波动方程相关的势函数。我们给出了由 Dirichlet-to-Neumann 映射恢复波动方程 $\square u +a u^m=0$ 中未知势 $a$ 的 Hölder 稳定性估计。我们证明了波动方程 $\square u +a u^m=0$ 中支集在 $\Omega\times[t_1,t_2]$ 内的未知势 $a(x,t)$ 可由映射 $u|_{\partial \Omega\times [0,T]}\mapsto \langle\psi,\partial_\nu u|_{\partial \Omega\times [0,T]}\rangle_{L^2(\partial \Omega\times [0,T])}$ 以 Hölder 稳定方式恢复。该数据等价于 Dirichlet-to-Neumann 映射与测量函数 $\psi$ 的内积。我们还证明了在边界数据加入噪声时恢复 $a$ 的类似稳定性结果。我们所使用的方法是构造性的，并基于高阶线性化。作为推论，我们也得到了一个唯一性结果。我们还给出了方程 $\square u +a u^m=0$ 正问题的详细表述。