半线性椭圆方程的部分数据反问题及边界与系数的同时恢复

我们利用 [LLS 19, FO19] 中引入的高阶线性化技术研究域 $\mathbb R^n$ 中半线性椭圆方程 $\Delta u+ a(x,u)=0$ 的若干部分数据反边界值问题。我们证明了在上述方程的一般假设下，其 Dirichlet-to-Neumann 映射决定了 $a(x,z)$ 在 $z=0$ 处的泰勒级数。泰勒级数的确定可与域内未知空腔或域边界未知部分的探测并行进行。该方法依赖于线性化部分数据 Calder\'on 问题的解 [FKSU09]，并意味着某些半线性方程 $\Delta u+ a(x,u) = 0$ 的部分数据问题（亦在 [KU19] 中证明）的解决。我们所证结果与线性 Schr\"odinger 方程的类似反问题形成对比。后者中同时恢复未知空腔（或边界部分）与势函数是长期未决的开放问题，且部分数据 Calder\'on 问题的解仅在 $n \geq 3$ 时的特殊情形中已知。