横向各向异性几何中部分数据的薛定谔方程Calderón问题

我们研究了横向各向异性几何中部分数据的薛定谔方程Calderón问题：\n\begin{equation}\n(-\Delta_{\widetilde{g}}+V)u=0\text{ in }\Omega\times (0,\infty),\n\end{equation}\n其中 $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ 是有界光滑区域，$\widetilde{g}=g_{ij}(x)dx^{i}\otimes dx^j+dy\otimes dy$，且 $V$ 在 $y$ 方向上平移不变。我们的目标是从 $\Gamma\times \{0\}$ 上的（部分）Neumann-to-Dirichlet（ND）映射恢复度规 $g$ 和势 $V$。我们的方法可分为三个步骤：步骤1. 边界确定。我们建立了一种新颖的边界确定方法，借助薛定谔方程的合适近似解，在非齐次Neumann边界条件下识别 $\Gamma$ 上的 $(g,V)$。步骤2. 关联到非局部椭圆逆问题。通过Caffarelli-Silvestre型延拓，我们将薛定谔方程的逆问题与非局部椭圆方程关联：\n\begin{equation}\n(-\Delta_g+V)^{1/2}v=f\text{ in }\Omega,\n\end{equation}\n其中测量信息编码在源-解映射中。该逆问题的非局部性使我们能够恢复关联的热核。步骤3. 归约为波动方程的逆问题。结合热核的知识与Kannai型变换公式，我们将非局部方程的逆问题转移到波动方程的逆问题：\n\begin{equation}\n(\partial_t^2-\Delta_g+V)w=F\text{ in }\Omega\times (0,\infty),\n\end{equation}\n其中测量算子同样为源-解映射。最终，通过求解波动方程的逆问题，我们可以确定 $\Omega\setminus\Gamma$ 上的 $(g,V)$。