非线性Schrödinger问题：一些变分解的对称性

本文关注非线性Schrödinger问题 $-\Delta u + Vu = \abs{u}^{p-2}u$ 在Dirichlet边界条件下。我们考虑 $p>2$ 并在一个有界开区域 $\Omega\subset\IR^N$ ($N\geq 2$) 上工作。势函数 $V$ 满足 $\max(V,0)\in L^{N/2}(\Omega)$ 和 $\min(V,0)\in L^{+\infty}(\Omega)$。此外，$-\Delta + V$ 是正定的，并且有且只有一个主特征值。当 $p\simeq 2$ 时，我们证明一旦固定了在 $-\Delta + V$ 的一个特征空间上的投影，解的唯一性。这意味着基态和最小能量节点解的部分对称性（或对称性破缺）。在文献中，$V\equiv 0$ 的情况已经被研究过。这里，我们通过指出并解释差异，将技术推广到我们的情况。最后，作为说明，我们实施（修改的）山路算法来处理 $V$ 为负、分段常数或无界的情况。这使我们能够展示解破坏 $V$ 对称性的直接例子。