流形上具有梯度依赖非线性项与 Hardy 位势奇性的椭圆 Schrödinger 方程

设 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ ($N \geq 3$) 为 $C^2$ 有界区域，$\Sigma \subset \Omega$ 为 $\mathbb{R}^N$ 中维数为 $k$ ($0\leq k < N-2$) 的 $C^2$ 紧致无边子流形。对于 $\mu\leq (\frac{N-k-2}{2})^2$，令 $L_\mu := \Delta + \mu d_{\Sigma}^{-2}$，其中 $d_{\Sigma}(x) = \mathrm{dist}(x,\Sigma)$。我们研究方程 $-L_\mu u = g(u,|\nabla u|)$ 在 $\Omega \setminus \Sigma$ 上的边值问题，边界条件为在 $\partial \Omega \cup \Sigma$ 上 $u=\nu$，其中 $g: \mathbb{R} \times \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+$ 为连续且非递减的函数并满足 $g(0,0)=0$，$\nu$ 为 $\partial \Omega \cup \Sigma$ 上给定的非负测度。当 $g$ 满足所谓的次临界积分条件时，我们在 $\nu$ 的小测度假设下建立了该问题的存在性结果。若 $g(u,|\nabla u|) = |u|^p|\nabla u|^q$，存在使次临界积分条件成立的 $p,q$ 取值范围（称为次临界范围），从而该问题存在解。在此范围之外，次临界积分条件可能不成立，我们以适当的 Bessel 容度表述，建立了关于 $\nu$ 的多种准则以保证该问题解的存在性。