涉及幂非线性与边界奇性 Hardy 位势的半线性椭圆方程

设 $\Omega \subset\mathbb{R}^N$ ($N\geq 3$) 为 $C^2$ 有界域，$\Sigma \subset \partial\Omega$ 为无边界 $C^2$ 紧子流形，维数为 $k$，$0\leq k \leq N-1$。假设 $k = 0$ 时 $\Sigma = \{0\}$，$k=N-1$ 时 $\Sigma=\partial\Omega$。记 $d_\Sigma(x)=\mathrm{dist}(x,\Sigma)$，并令 $L_\mu=\Delta + \mu d_{\Sigma}^{-2}$，其中 $\mu$ 为参数。本文研究方程 $-L_\mu u \pm |u|^{p-1}u = 0$ 在 $\Omega$ 中带有边界指定条件 $u=\nu$ 的边值问题，其中 $p>1$，$\nu$ 为 $\partial \Omega$ 上的给定测度。非线性项 $|u|^{p-1}u$ 根据正负号分别称为\textit{吸收}或\textit{源}。问题的显著特征在于 $\Sigma$ 的集中性、非线性类型、指数 $p$ 和参数 $\mu$ 之间的相互作用。吸收情形与源情形在多个方面截然不同，因此需要完全不同的处理方法。在每种情形下，我们建立了以适当容量表示的多种必要和充分条件。与文献中相关工作相比，通过精细分析，我们能够处理指数 $p$ 的超临界范围以及参数 $\mu$ 的临界情形，这体现了本文的创新性。