具有测度数据的半线性边值问题的约化极限

我们研究光滑有界区域 $\Omega\subset R^N$ 中形式为 $-\Delta u+g\circ u=\mu$ 的半线性椭圆方程的边值问题。设 $\{\mu_n\}$ 和 $\{\tau_n\}$ 分别是 $\Omega$ 和 $\partial \Omega$ 上的测度序列。假设存在方程的解 $u_n$，其对应数据 $\mu=\mu_n$ 及边界数据 $\tau_n$。进一步假设测度序列分别弱收敛于 $\mu$ 和 $\tau$，且 $\{u_n\}$ 在 $L^1(\Omega)$ 中收敛于 $u$。一般而言，$u$ 并非具有数据 $(\mu,\tau)$ 的边值问题的解。然而，存在测度对 $(\mu^*,\tau^*)$，使得 $u$ 满足将 $\mu$ 替换为 $\mu^*$ 且在边界上 $u=\tau^*$ 的方程。称对 $(\mu^*,\tau^*)$ 为序列 $\{(\mu_n,\tau_n)\}$ 的约化极限。我们研究了弱极限与约化极限之间的关系，以及后者对序列的依赖性。