具有源项和边界测度数据的椭圆半线性方程：超临界情形

我们给出了具有超线性源项的方程弱解存在性的新判据：\begin{align*}-\Delta u = u^q ~~\text{in}~\Omega,~~u=\sigma~~\text{on }~\partial\Omega\end{align*}其中 $\Omega$ 是有界光滑域或 $\mathbb{R}_+^{N}$，$q>1$，且 $\sigma\in \mathfrak{M}^+(\partial\Omega)$ 是 $\partial\Omega$ 上的非负 Radon 测度。我们获得的一个判据是用 $\partial\Omega$ 上的一些 Bessel 容量来表示的。我们还给出了具有混合源项方程弱解存在性的充分条件：\begin{align*} -\Delta u = |u|^{q_1-1}u|\nabla u|^{q_2} ~~\text{in}~\Omega,~~u=\sigma~~\text{on }~\partial\Omega \end{align*}其中 $q_1,q_2\geq 0, q_1+q_2>1, q_2<2$，$\sigma\in \mathfrak{M}(\partial\Omega)$ 是 $\partial\Omega$ 上的 Radon 测度。