不定椭圆问题在梯度临界增长下的先验界与解的多重性

设 $\Omega \subset \mathbb R^N$，$N \geq 2$，为光滑有界区域。我们考虑如下形式的边值问题 $$-\Delta u = c_{\lambda}(x) u + \mu(x) |\nabla u|^2 + h(x), \quad u \in H^1_0(\Omega)\cap L^{\infty}(\Omega)$$ 其中 $c_{\lambda}$ 依赖于参数 $\lambda \in \mathbb R$，系数 $c_{\lambda}$ 与 $h$ 属于 $L^q(\Omega)$ 且 $q>N/2$，$\mu \in L^{\infty}(\Omega)$。在适当假设下，且不对这些系数施加任何符号条件，我们得到了解的先验上界。我们的证明依赖于一个新的边界弱 Harnack 不等式。该不等式具有独立意义，在 $p$-Laplacian 的一般框架下建立。借助该先验界，我们展示了解的存在性与多重性。