梯度二次增长完全非线性方程的先验估计与多解性

我们考虑在有界区域中具有 Dirichlet 边界条件的、梯度具有二次增长的完全非线性一致椭圆方程,例如 $$-F(x,u,Du,D^2u) =\lambda c(x)u+\langle M(x)D u, D u \rangle +h(x)$$,其中 $\lambda \in\mathbb{R}$, $c,\, h \in L^p(\Omega)$, $p>n\geq 1$, $c\gneqq 0$,且矩阵 $M$ 满足 $0<\mu_1 I\leq M\leq \mu_2 I$。近来该问题在“强制”情形 $\lambda c\le0$ 下被研究,此时可期望解的唯一性,并有人猜想对于非强制方程其解集更为复杂。这一猜想于 2015 年由 Arcoya、de Coster、Jeanjean 和 Tanaka 针对散度型方程借助问题的积分表述得以验证。本文我们证明类似现象也出现在一般的、甚至是非散度型的完全非线性方程中。我们使用基于最大值原理的不同技巧。我们发展了一种新方法以获得关键的均匀先验估计,这使得我们能够运用度理论。该方法基于基本的正则性估计(如半-Harnack 不等式)以及针对我们这类方程的 V\'azquez 型强最大值原理。