高阶椭圆 Dirichlet 问题在半空间上的先验界与 Liouville 定理

我们考虑 $R^N$ 中有界光滑区域 $\Omega$ 上具有 Dirichlet 边界条件的 $2m$ 阶椭圆边值问题 $Lu=f(x,u)$。算子 $L$ 是 $2m$ 阶一致椭圆算子。我们假设当 $s\to \pm\infty$ 时，非线性项 $f(x,s)$ 的表现类似于 $|s|^q$ 乘以一个关于 $x$ 的连续正函数。此处指数 $q$ 为次临界的，即若 $N<=2m$ 则 $q>1$，若 $N>2m$ 则 $1<q<\frac{N+2m}{N-2m}$。我们证明了先验界，即证明了每个解 $u$ 的 $L^\infty$-范数被一个与 $u$ 无关的常数所界定。允许解变号。证明通过爆破论证完成，该论证依赖于以下关于半空间的新 Liouville 型定理：若 $u$ 是半空间上具有 Dirichlet 边界条件的 $(-\Delta)^m u = u^q$ 的经典、有界、非负解，且 $q>1$ 为次临界，则 $u$ 恒为零。