半线性椭圆方程半稳定解的先验估计

我们考虑具有零 Dirichlet 边界条件的 $Lu+f(u)=0$ 的正半稳定解 $u$，其中 $L$ 是一致椭圆算子，$f\in C^2$ 是正的、非减的且凸的非线性项，并在无穷远处超线性。在这些假设下，预计所有半稳定解的有界性可达维数 $n\leq 9$，但目前已证实的仅为 $n\leq 4$。本文在关于 $f$ 的以下进一步假设下，证明了维数高达 $n=5$ 时的 $L^\infty$ 界：对于任意 $\varepsilon>0$，存在 $T=T(\varepsilon)$ 和 $C=C(\varepsilon)$，使得对所有 $t>T$ 有 $f'(t)\leq Cf(t)^{1+\varepsilon}$。该界源于对任意 $p<3$ 且 $n\geq 2$ 时 $f'(u)$ 的 $L^p$ 估计。在关于 $f$ 的类似但更严格的假设下，我们还证明了 $n=6$ 时的 $L^\infty$ 估计。值得注意的是，我们的结果并未假设 $f'$ 有任何下界。