具一般非线性项的半线性四阶椭圆问题极值解的正则性

我们考虑在 R^n 中一般有界区域 Ω 上的四阶问题 Δ²u = λf(u)，带有 Navier 边界条件 u = Δu = 0 在 ∂Ω 上。这里 λ 是正参数，f: [0, a_f) → R_+ (0 < a_f ≤ ∞) 是光滑、递增、凸的非线性项，满足 f(0) > 0 且在 a_f 处爆破。设 0 < τ_- := liminf_{t→a_f} f(t)f''(t)/f'(t)² ≤ τ_+ := limsup_{t→a_f} f(t)f''(t)/f'(t)² < 2。我们证明，若 u_m 是对应于 λ_m 的一列半稳定解，满足稳定性不等式 √λ_m ∫_Ω √f'(u_m) φ² dx ≤ ∫_Ω |∇φ|² dx，对所有 φ ∈ H¹₀(Ω) 成立，则 sup_m ||u_m||_{L^∞(Ω)} < a_f 对 n < [4α*(2−τ_+)+2τ_+]/τ_+ · max{1, τ_+} 成立，其中 α* 是方程 (2−τ_-)²α⁴ − 8(2−τ_+)α² + 4(4−3τ_+)α − 4(1−τ_+) = 0 的最大根。特别地，若 τ_- = τ_+ := τ，则当 τ ≤ 1 时对 n ≤ 12，当 τ ≤ 1.57863 时对 n ≤ 7，有 sup_m ||u_m||_{L^∞(Ω)} < a_f。这些估计导出了对应极值解 u*(x) = lim_{λ↑λ*} u_λ(x) 的正则性，其中 λ* 是特征值问题的极值参数。