与椭圆系统相关的极值解的正则性

我们考察两个椭圆系统：[(G)_{\lambda,\gamma} \quad -\Delta u = \lambda f'(u) g(v), \quad -\Delta v = \gamma f(u) g'(v) \quad \text{in } \Omega,] 和 [(H)_{\lambda,\gamma} \quad -\Delta u = \lambda f(u) g'(v), \quad -\Delta v = \gamma f'(u) g(v) \quad \text{in } \Omega,] 具有零Dirichlet边界条件，其中 $\lambda,\gamma$ 为正参数。我们证明，对于任意非线性函数 $f$ 和 $g$，当 $\Omega$ 是 $\mathbb R^N$ 中的凸域且 $N \le 3$ 时，与 $(G)_{\lambda,\gamma}$ 相关的极值解是有界的。在径向域情形下，我们证明当 $N < 10$ 时极值解有界。与 $(H)_{\lambda,\gamma}$ 相关的极值解在 $f$ 任意、$g(v)=(v+1)^q$（其中 $1 < q < \infty$）且 $\Omega$ 是 $\mathbb R^N$ 中有界凸域（$N \le 3$）的情形下是有界的。对于 $(G)_{\lambda,\gamma}$ 和 $(H)_{\lambda,\gamma}$，在显式非线性形式 $f(u)=(u+1)^p$ 和 $g(v)=(v+1)^q$ 的情况下，也得到了更高维度的结果。