4维情形下极值解的有界性

本文建立了半线性椭圆方程 $-\Delta u=\lambda f(u)$ 在 $\mathbb{R}^N$ 中一般光滑有界区域 $\Omega$ 上、Dirichlet 边界条件 $u|_{\partial \Omega}=0$ 下，当维数 $N=4$ 时极值解 $u^*$ 的有界性，其中 $f$ 是 $[0,\infty)$ 上的 $C^1$ 类正、非减且凸函数，且满足 $f(s)/s\rightarrow\infty$（当 $s\rightarrow\infty$）。此外，我们证明了对于 $N\ge 5$，极值解 $u^*\in W^{2,\frac{N}{N-2}}$。由此得到：当 $N\ge 5$ 时 $u^\ast\in L^\frac{N}{N-4}$，当 $N=6$ 时 $u^*\in H_0^1$。