奇异各向异性椭圆方程解的有界性

我们证明了在 bounded 开子集 $\Omega\subset \mathbb R^N$ $(N\geq 2)$ 上，形如 $$-\Delta_{\overrightarrow{p}}u+\Phi_0(u,\nabla u)=\Psi(u,\nabla u) +f$$ 的一类一般 Dirichlet 各向异性椭圆问题所有解的一致有界性，其中 $\Delta_{\overrightarrow{p}}u=\sum_{j=1}^N \partial_j (|\partial_j u|^{p_j-2}\partial_j u)$ 且 $\Phi_0(u,\nabla u)=\left(\mathfrak{a}_0+\sum_{j=1}^N \mathfrak{a}_j |\partial_j u|^{p_j}\right)|u|^{m-2}u$，满足 $\mathfrak{a}_0>0$，$m,p_j>1$，$\mathfrak{a}_j\geq 0$（$1\leq j\leq N$）以及 $N/p=\sum_{k=1}^N (1/p_k)>1$。我们假设 $f \in L^r(\Omega)$ 且 $r>N/p$。本研究的特点是包含了可能的奇异梯度依赖项 $\Psi(u,\nabla u)=\sum_{j=1}^N |u|^{\theta_j-2}u\, |\partial_j u|^{q_j}$，其中 $\theta_j>0$ 且 $0\leq q_j<p_j$（$1\leq j\leq N$）。此类弱解的存在性见于作者近期的一篇论文。