涉及梯度的奇异拟线性椭圆问题在半空间中的单调性

我们研究了在 $\mathbb{R}^N_+$ 中带有零 Dirichlet 边界条件的 $-\Delta_p u + \vartheta |\nabla u|^q = \frac{1}{u^\gamma} + f(u)$ 问题的正解，其中 $p>1$，$\gamma>0$，$0<q\le p$，$\vartheta\ge0$，且 $f:[0,+\infty)\to\mathbb{R}$ 是一个局部 Lipschitz 连续函数。我们描述了这些解及其导数在边界附近的行为。然后，我们利用这些信息以及移动平面法证明了这些解在 $x_N$ 方向上的单调性。这一结果在二维情形下对 $W^{1,p}_{\rm loc}(\mathbb{R}^2_+)\cap L^\infty_{\rm loc}(\overline{\mathbb{R}^2_+})$ 解成立，在更高维情形下对在条带内有界的 $W^{1,p}_{\rm loc}(\mathbb{R}^N_+)$ 解成立。我们的大多数结果即使在 $\vartheta=0$ 或 $p=2$ 的情形下也是新的。