半空间中某些非局部椭圆问题解的单调性

本文考虑半线性分数阶问题 $(-\Delta)^s u = f(u)$ 在 $\mathbb{R}^N_+$ 中，且 $u=0$ 在 $\mathbb{R}^N \setminus \mathbb{R}^N_+$ 上的经典解 $u$，其中 $(-\Delta)^s$（$0<s<1$）表示分数阶拉普拉斯算子，$N\ge 2$，$\mathbb{R}^N_+=\{x=(x',x_N)\in \mathbb{R}^N:\ x_N>0\}$ 是半空间，$f\in C^1$ 是给定函数。在对函数 $f$ 无额外限制的情况下，我们证明有界、非负、非平凡的经典解在 $\mathbb{R}^N_+$ 中确实是正的，并满足 $$\frac{\partial u}{\partial x_N}>0 \quad \hbox{在 } \mathbb{R}^N_+ \hbox{ 中}。$$ 这与先前已知的局部情形 $s=1$ 的结果形成对比，在局部情形下，非正的非负解确实存在，且当 $f(0)<0$ 时，即使对于正解，上述单调性一般也未知是否成立。