关于Lane-Emden方程组极值解的正则性与部分正则性

本文中，我们考虑在具有光滑边界的有界区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ 上，带有狄利克雷边界条件 $u=v=0$ 于 $\partial \Omega$ 的方程组 $-\Delta u =\lambda (v+1)^p,\;\;-\Delta v = \gamma (u+1)^\theta$。其中 $\lambda,\gamma$ 为正参数。令 $x_0$ 为多项式 \begin{equation*} H(x) = x^4 - \frac{16p\theta(p+1)(\theta+1)}{(p\theta-1)^2}x^2 + \frac{16p\theta(p+1)(\theta+1)(p+\theta+2)}{(p\theta-1)^3}x -\frac{16p\theta(p+1)^2(\theta+1)^2}{(p\theta-1)^4} \end{equation*} 的最大根。我们证明，若 $N<2+2x_0$，则与上述方程组相关的极值解是有界的。这改进了文献\cite{co1}中的先前工作。我们还证明，若 $N\geq 2+2x_0$，则任何极值解的奇异集的豪斯多夫维数小于或等于 $N-(2+2x_0)$。