某些椭圆问题解的结点集：奇异非线性

本文处理方程 \begin{equation*} -\Delta u = \lambda_+ \left(u^+\right)^{q-1} - \lambda_- \left(u^-\right)^{q-1} \quad \text{in $B_1$} \end{equation*} 的解，其中 $\lambda_+,\lambda_- > 0$，$q \in (0,1)$，$B_1=B_1(0)$ 是 $\mathbb{R}^N$ 中的单位球，$N \ge 2$，且 $u^+:= \max\{u,0\}$、$u^-:= \max\{-u,0\}$ 分别为 $u$ 的正部和负部。我们将最近在 \cite{SoTe2018} 中针对 $1\leq q<2$ 的次线性与不连续方程所获得的结果推广到这类奇异方程，即： 零化阶在每一点的有限性及阶谱的完整刻画； 弱非退化性质； 任意解的结点集的正则性：结点集在余维数为一的正则流形意义上是局部有限的，至多除去一个 Hausdorff 维数不超过 $N-2$ 的剩余奇异集（当 $N=2$ 时为局部有限）。作为中间步骤，我们建立了一类未必极小解的正则性。证明基于先验界、Weiss 型泛函二参数族的单调性公式、blow-up 论证以及齐次解的分类。