抛物方程组解的节点集

本文研究了满足 $a^{ij}$ 满 Lipschitz 连续性条件的域 $\mathbb{R}^n$ 中的抛物方程 $\partial_t u=\partial_j\left(a^{ij}(x,t)\partial_iu\right)+b^j(x,t)\partial_ju+c(x,t)u$。考虑时间切片上的节点集 $Z_t=\{x: u(x,t)=0\}$。简单例子表明，奇异集 $\mathcal{S}_t=\{x: u(x,t)=|\nabla_x u|(x,t)=0\}$ 可能与节点集重合。这使得用于研究椭圆方程节点集的方法失效，使抛物情形变得更为复杂。当前文献中最强的結果在于假设 $n=1$ 时由 Angenent 或系数时间独立且解析由 Lin 所得。在一般系数情况下，Han-Lin 在某些 doubling 假设下仅获得空间时间节点集的维数为一的估计。本文的第一部分在完全一般的情况下证明 $\mathcal{H}^{n-1}(Z_t) < \infty$，即对于任意维数、具有时变系数且仅满足 $a^{ij}$ 满 Lipschitz 连续性的导数项。第二部分研究了节点集的演化行为。当 $n=1$ 时，Angenent 证明节点点的数量随时间非增。对于 $n$ 维情形，我们构造例子表明测量单调性失效。相反，我们证明了维数单调性，即节点集的 Hausdorff 维数随时间非增。这一结果是一般维数下节点集的第一个单调性性质。所有假设均处于尖锐状态。