三维抛物型 Gross-Pitaevskii 及相关系统的 Liouville 型定理

我们证明了在全空间 ${\mathbb R}^N\times {\mathbb R}$ 中形如 $${\partial_t u_i}-\Delta u_i =\sum_{j=1}^{m}\beta_{ij} u_i^ru_j^{r+1}, \quad i=1,2,...,m$$ 的半线性抛物型系统的 Liouville 型定理。最近，Quittner [{\em Math. Ann.}, DOI 10.1007/s00208-015-1219-7 (2015)] 建立了 $m=2$ 且维数 $N\leq 2$ 时的最优结果，以及在更高维数下 $p< N/(N-2)$ 范围内的部分结果。通过对 Gidas 和 Spruck 以及 Bidaut-V\'eron 技巧的非平凡修改，我们在维数 $N\geq 3$ 下部分改进了 Quittner 的结果。特别地，我们的结果解决了空间维数 $N=3$ 下抛物型 Gross-Pitaevskii 系统——即三次情形 $r=1$——的重要情况，适用于任何对角线元素为正、非对角线元素非负的对称 $(m,m)$-矩阵 $(\beta_{ij})$。通过我们实际上为更一般的合作系统发展的移动平面和单调性论证，我们随后推导出在半空间 ${\mathbb R}^N_+\times {\mathbb R}$ 中的 Liouville 型定理。作为应用，我们给出了关于通用奇点估计、整体解的通用界以及相应初值问题爆破速率估计的结果。