半空间中的刘维尔型定理及其在超二次扩散哈密顿-雅可比方程梯度爆破行为中的应用
偏微分方程分析
2025-04-30 v1
摘要
我们考虑带有齐次狄利克雷条件的椭圆型和抛物型超二次扩散哈密顿-雅可比方程。对于半空间中的椭圆问题，我们证明了一个刘维尔型分类，或称对称性结果，该结果断言任何解都必须是一维的。这被证明是研究一般有界域中抛物问题边界梯度爆破（GBU）行为的有效工具。即，我们证明在边界附近，解在主导阶上展现出全局常微分方程（ODE）类型的行为，法向导数主导于切向导数。这导致在任何GBU点处，法线方向上存在一个普遍的、尖锐的爆破廓线，并且进一步暗示切线方向上的行为更为奇异。另一方面，已知任何GBU解都允许以全局粘性解的形式进行弱延拓。作为另一个推论，我们证明这些粘性解在GBU之后{\it 一般地}失去边界条件。这一结果，以及上述GBU廓线，迄今为止基本上仅在一维空间中是已知的。
引用
@article{arxiv.1906.05161,
title = {A Liouville-type theorem in a half-space and its applications to the gradient blow-up behavior for superquadratic diffusive Hamilton-Jacobi equations},
author = {Roberta Filippucci and Patrizia Pucci and Philippe Souplet},
journal= {arXiv preprint arXiv:1906.05161},
year = {2025}
}
备注
27 pages