扩散Hamilton-Jacobi方程边界梯度爆破的轮廓

我们考虑在二维空间中具有Dirichlet边界条件的扩散Hamilton-Jacobi方程$$u_t-\Delta u=|\nabla u|^p,$$，该方程出现在描述生长界面的KPZ模型中。对于$p>2$，解可能在有限时间内在边界上产生梯度奇性，且边界上单点梯度爆破的例子已知，但切向的空间轮廓一直是一个完全开放的问题。在参数范围$2<p\le 3$内，对于平坦边界和原点处孤立奇点的情况，我们给出了该问题的答案，得到了精确的最终渐近轮廓，其形式为$$u_y(x,y,T) \sim d_p\Bigl[y+C|x|^{2(p-1)/(p-2)}\Bigr]^{-1/(p-1)},\quad\hbox{当 $(x,y)\to (0,0)$。}$$有趣的是，这一结果显示出一种强烈的轮廓各向异性新现象，与在其他非线性抛物方程爆破问题中观察到的情形截然不同，其法向$y$的指数为$1/(p-1)$，而切向$x$的指数为$2/(p-2)$。此外，切向轮廓违反了方程的（自相似）标度不变性，而法向轮廓则保持自相似。