具有梯度吸收和临界指数的非线性抛物型方程的渐近行为

我们研究了涉及非线性扩散和梯度吸收的演化方程$$\partial_t u - \Delta_p u + |\nabla u|^q=0$$解的大时间行为。我们考虑问题定义在$x\in \real^N$和t>0上，初始数据非负且具有紧支集。我们取指数p>2，对应于慢速p-Laplacian扩散。本文的主要特点是指数q取临界值q=p-1，这导致了有趣的渐近行为。这是因为在这种情况下，Hamilton-Jacobi项$|\nabla u|^q$和扩散项$\Delta_p u$在大时间下具有相似的大小。本文的研究表明，会发生微妙的渐近平衡，使得解的大时间行为由Hamilton-Jacobi方程$|\nabla W|^{p-1}=W$的适当自相似解的缩放版本描述，并带有对数时间修正。渐近缩放轮廓是一种顶部带有尖点的沙堆状，且与空间维数无关。