外区域中非局部扩散方程的渐近行为：临界二维情形

我们研究非局部扩散方程$\partial _t u=J*u-u$的有界可积解的长时间行为，其中$J$是支撑在$B_d(0)\subset\mathbb{R}^2$上的光滑、径向对称核。问题设置在一个排除孔洞$\mathcal{H}$的二维外区域中，且在$\mathcal{H}$上具零 Dirichlet 数据。在远场尺度$\xi_1\le |x|t^{-1/2}\le \xi_2$（$\xi_1,\xi_2>0$）下，缩放函数$\log t\, u(x,t)$表现为具有由$J$确定的某种扩散率的局部热方程基本解的倍数。表征质量渐近行为中第一个非平凡项的成比例常数，由解的渐近“对数动量” $\lim_{t\to\infty}\int_{\mathbb{R}^2}u(x,t)\log|x\,dx$给出。这一渐近量可以容易地根据初始数据计算。在近场尺度$|x|\le t^{1/2}h(t)$且$\lim_{t\to\infty} h(t)=0$下，缩放函数$t(\log t)^2u(x,t)/\log |x|$收敛到$\phi(x)/\log |x|$的倍数，其中$\phi$是当$|x|\to\infty$时表现为$\log|x|$的该问题的唯一平稳解。成比例常数通过与远场极限的匹配程序获得。最后，在极远场$|x|\ge t^{1/2} g(t)$且$g(t)\to\infty$下，证明解具有阶$o((t\log t)^{-1})$。