外域中 Dirichlet 热方程的大时间估计

我们给出了在满足某些技术假定的 $\mathbb{R}^d$ 中有界开集补集上 Dirichlet 热方程解的大时间渐近估计，包括一致范数和 $L^1$ 范数。我们始终假设初始数据具有合适的有限矩（通常为有限一阶矩）。所有估计都包含在不同尺度下趋近渐近剖面的显式速率，这与全空间热方程的高斯行为类似。作为推论，我们通过逼近程序获得了这些外域中 Dirichlet 热核的渐近剖面及其速率。即使当区域为 $\mathbb{R}^d$ 中单位球的补集时，速率估计也是新的，除了 Uchiyama 在二维中的先前结果，我们在某些尺度上改进了这些结果。我们得到热核的渐近行为与全空间热核相同，但有一个因子通过调和剖面考虑了区域的形状，以及第二个因子考虑了通过边界的质量损失。我们使用的主要思想来自 PDE 和概率中的熵方法，其在外部区域扩散问题中的应用似乎是新的。