外部域中一维非局部扩散方程的渐近行为

我们研究了外部一维域中具有零 Dirichlet 数据的非局部扩散方程 $\partial_t u=J*u-u$ 解的长时间行为。在远场尺度 $\xi_1\le|x|t^{-1/2}\le\xi_2$（$\xi_1,\xi_2>0$）下，这种行为由局部热方程偶极子解的倍数给出，其扩散系数由 $J$ 确定。然而，比例常数在 $\mathbb{R}_+$ 和 $\mathbb{R}_-$ 上并不相同：它由相应半直线上解的渐近一阶矩给出，该矩可根据初始数据计算。在近场尺度 $|x|\le t^{1/2}h(t)$（$\lim_{t\to\infty}h(t)=0$）下，按因子 $t^{3/2}/(|x|+1)$ 缩放后的解收敛于问题的一个稳态解，该解在 $x\to\pm\infty$ 时表现为 $b^\pm{x}$。常数 $b^\pm$ 是通过与远场极限的匹配过程获得的。在极远场 $|x|{\ge}t^{1/2} g(t)$（$g(t)\to\infty$）中，解的阶为 $o(t^{-1})$。