临界密度非均匀介质中多孔介质方程的大时间行为

我们研究了具有临界奇异密度 $$|x|^{-2}\partial_{t}u=\Delta u^m, \quad \hbox{in} \ \real^N\times(0,\infty),$$ 的非均匀介质中多孔介质方程解的大时间行为，其中 $m>1$ 且 $N\geq3$。渐近行为表现出一些有趣且显著的性质。我们表明，取决于连续初始数据 $u_0$ 在 $x=0$ 处是否为零，解具有不同的渐近廓线。此外，当 $u_0(0)=0$ 时，我们证明了其收敛于一个呈现激波形式不连续性的廓线，这源于对守恒律意想不到的渐近简化；而当 $u_0(0)>0$ 时，极限廓线保持连续。这些现象说明了 $x=0$ 处奇异性的强烈影响。我们改进了避开奇异性集合中的收敛时间尺度。在此过程中，我们还研究了具有对流项的多孔介质方程的大时间行为，其本身也具有重要意义。