快速扩散方程奇异解的渐近大时间行为

我们研究在次临界情形 $0<m<\frac{n-2}{n}$, $n\ge3$ 下，快速扩散方程 $u_t=\Delta u^m$ 在 $({\mathbb R}^n\setminus\{0\})\times(0,\infty)$ 中奇异解的渐近大时间行为。首先，我们证明上述方程存在奇异解 $u$，其被限制在形式为 $t^{-\alpha} f_i(t^{-\beta}x)$ ($i=1,2$) 的自相似解之间，初值 $u_0$ 满足 $A_1|x|^{-\gamma}\le u_0\le A_2|x|^{-\gamma}$，其中常数 $A_2>A_1>0$ 且 $\frac{2}{1-m}<\gamma<\frac{n-2}{m}$，$\beta:=\frac{1}{2-\gamma(1-m)}$，$\alpha:=\frac{2\beta-1}{1-m}$，且自相似剖面 $f_i$ 满足椭圆方程 \Delta f^m+\alpha f+\beta x\cdot \nabla f=0\quad \mbox{在 ${\mathbb R}^n\setminus\{0\}$ 中} 并满足 $\lim_{|x|\to0}|x|^{\frac{ \alpha}{ \beta}}f_i(x)=A_i$ 与 $\lim_{|x|\to\infty}|x|^{\frac{n-2}{m}}{f_i}(x)= D_{A_i}$，其中常数 $D_{A_i}>0$。当 $\frac{2}{1-m}<\gamma<n$ 时，在奇异解 $u$ 的初值 $u_0$ 满足某可积条件下，我们证明重标度函数 $$\tilde u(y,\tau):= t^{\,\alpha} u(t^{\,\beta} y,t),\quad{ \tau:=\log t},$$ 当 $\tau\to\infty$ 时收敛到某个自相似剖面 $f$。