极快扩散方程解的存在性与渐近行为

设 $n>2$，$0<m\le (n-2)/n$，$p>\max(1,(1-m)n/2)$，且 $0\le u_0\in L_{loc}^p(R^n)$ 满足 $\liminf_{R\to\infty}R^{-n+\frac{2}{1-m}}\int_{|x|\le R}u_0\,dx=\infty$。我们证明方程 $u_t=\frac{n-1}{m}\Delta u^m$（$u>0$）在 $R^n\times (0,\infty)$ 上具有唯一的整体经典解，且 $u(x,0 )=u_0(x)$ 于 $\R^n$。此外，若 $0<m<(n-2)/n$ 且当 $|x|\to\infty$ 时 $u_0(x)\approx A|x|^{-q}$（$A>0$，$q<n/p$ 为常数），我们证明存在常数 $\alpha$、$\beta$，使得函数 $v(x,t)=t^{\alpha}u(t^{\beta}x,t)$ 在 $R^n$ 的每个紧子集上一致收敛于方程的自相似解 $\psi(x,1)$，且当 $t\to\infty$ 时 $\psi(x,0)=A|x|^{-q}$。注意当 $m=(n-2)/(n+2)$，$n>2$ 时，若 $g_{ij}=u^{\frac{4}{n+2}}\delta_{ij}$ 是 $R^n$ 上由 Yamabe 流 $\partial g_{ij}/\partial t=-Rg_{ij}$ 演化的度量，其中 $u(x,0)=u_0(x)$ 于 $R^n$，$R$ 为标量曲率，则 $u(x,t)$ 是上述快扩散方程的整体解。