关于快扩散方程解的灭绝剖面

我们研究快扩散方程 $u_t = \Delta u^m$ 在 $\R^N\times (0,T)$ 上解的灭绝行为，指数范围为 $m \in (0, \frac{N-2}{N})$，$N > 2$。我们证明若初值 $u_0$ 被两个在时间 T 灭绝的 Barenblatt 解夹在中间，则 u 在 T 处的消失行为由一个 Barenblatt 解给出。我们还给出一个例子表明，对于此种行为，由 Barenblatt 解 $B$（在 T 灭绝）从上方给出界是关键的：我们构造了一类解 u，其初值 $u_0 = B (1 + o(1))$（在 $|x| >> 1$ 附近），它们比 B 存在得更久并在 T 改变行为。此类解的行为在 T 之前由 $B(\cdot,t)$ 主宰，而当 $t >T$ 时解变为可积并展现不同的消失剖面。对于 Yamabe 流（$m = \frac{N-2}{N+2}$），上述意味着这些解 u 在 Barenblatt 解消失的时刻 T 发展出一个奇点，而在 $t >T$ 时它们立即光滑化并展现球的消失剖面。在附录中我们说明如何去掉 $u_0$ 从下方被 Barenblatt 解界定这一假设。