对数扩散方程的熄灭剖面

设 $u$ 是 $\R^N\times (0,T)$ 上方程 $u_t=\Delta\log u$ 的解，其中 N=3 或 $N\ge 5$，初始值 $u_0$ 满足 $B_{k_1}(x,0)\le u_0\le B_{k_2}(x,0)$，这里 $k_1>k_2>0$ 为常数，$B_k(x,t) =2(N-2)(T-t)_+^{N/(N-2)}/(k+(T-t)_+^{2/(N-2)}|x|^2)$ 是该方程的 Barenblatt 解。我们证明，当 $s\to\infty$ 时，重缩放函数 $\4{u}(x,s)=(T-t)^{-N/(N-2)}u(x/(T-t)^{-1/(N-2)},t)$，$s=-\log (T-t)$，在 $\R^N$ 上一致收敛于重缩放 Barenblatt 解 $\4{B}_{k_0}(x)=2(N-2)/(k_0+|x|^2)$，其中 $k_0>0$ 为某常数。我们还得到了当初始数据在 $\R^N$ 上满足 $0\le u_0(x)\le B_{k_0}(x,0)$ 且 $|u_0(x)-B_{k_0}(x,0)|\le f(|x|)\in L^1(\R^N)$（其中 $k_0>0$ 为常数，$f$ 为径向对称函数）时，重缩放解 $\4{u}(x,s)$ 在 $s\to\infty$ 时的收敛性。