关于反应扩散方程阈值解的不稳定性及其在优化问题中的应用

本文第一部分致力于推导一个技术性结果，涉及反应扩散方程 $u_t-\Delta u = f(x,u)$ 在 $(0,\infty)\times \mathbb{R}^N$ 上解的稳定性，其中初值 $u(0,x)=u_0(x)$ 满足对所有 $x$ 有 $\lim_{t\to +\infty} u(t,x)=W(x)$，$W$ 为 $H^1(\mathbb{R}^N)$ 中的稳态。我们刻画了扰动 $h$ 的特征：若 $u^h$ 为对应于初值 $u_0+h$ 的解，则当 $h$ 在某种意义下足够小时，对大的 $t$ 有 $u^h(t,x)>W(x)$（相应地 $u(t,x)<W(x)$）。该条件依赖于 $\int_{\mathbb{R}^N} h(x)p(0,x)dx$ 的符号，其中 $p$ 为伴随解，满足 $(0,\infty)$ 上的后向抛物方程并由 [7] 唯一确定。随后我们给出该结果的两个应用。首先，我们解决了 [8] 中当 $N=1$ 且 $f$ 为与 $x$ 无关的双稳态非线性时所提出的开放问题。具体而言，我们计算了对应于初值 $\mathbf{I}_{(-L-r,-r)\cup (r,L+r)}$ 的临界长度 $L^*(r)$ 的导数，即使得 $u(t,x)$ 当 $t\to +\infty$ 时收敛到 $1$（相应地 $0$）的长度 $L$ 的上下阈值。最后，同样在 $N=1$ 且 $f$ 为与 $x$ 无关的双稳态非线性时，我们证明并借助浴缸原理刻画了初值 $\underline{u}_0$ 的存在性，该初值最小化某代价函数 $\int_\mathbb{R} j(u_0)$ 同时保证对所有 $x$ 有 $\liminf_{t\to +\infty} u(t,x)>0$。