非均匀介质中的反应传播

考虑反应扩散方程 $u_t=\Delta u + f(x,u)$，其中 $x\in\mathbb{R}^d$，且 $f\ge 0$ 为一般的非均匀点火反应，在 $u=0,1$ 处为零。典型解 $0\le u\le 1$ 随时间推移从 0 过渡到 1，我们研究发生这种过渡的区域。在对 $f$ 相当一般的定性假设下，我们证明在维度 $d\le 3$ 时，超水平集 $\{u\ge\epsilon\}$ 和 $\{u\ge 1-\epsilon\}$ 的 Hausdorff 距离对于每个 $\epsilon\in(0,1)$ 在时间上保持一致有界。因此，在超水平集的 Hausdorff 距离意义下，$u$ 在时间上始终接近 $\{u\ge\tfrac 12\}$ 的特征函数。我们还表明，$\{u\ge\tfrac 12\}$ 以平均速度（在任何足够长的时间间隔内）扩展，该速度介于对应于 $f$ 的任何与 $x$ 无关的下界和上界的两个传播速度之间。另一方面，这些结果在维度 $d\ge 4$ 时被证明是错误的，至少在没有关于 $f$ 的进一步定量假设的情况下是这样。对于 $d\le 3$ 的证明基于表明随着解的传播，$u$ 的小值无法远远超前于接近 1 的值。对于 $d\ge 4$ 的证明涉及构造一个使该结论失效的反例。此类结果此前已知适用于 $d=1$，但对于维度 $d\ge 2$ 的一般非周期介质则是新的（其中一些对于均匀和周期介质也是新的）。它们在较弱的意义上扩展到单稳态、双稳态和混合反应类型，以及扩展到 PDE 的一般平衡态 $u^-<u^+$ 之间的跃迁，并扩展到不一定满足 $u^-\le u\le u^+$ 的解。