$\mathbb R^N$ 上多稳态反应扩散方程的径向阶梯形解与传播剖面

我们研究非线性扩散问题 $u_t-\Delta u=f(u)\; (x\in \mathbb R^N,\;t>0)$, $u(x,0)=u_0(x) \; (x\in\mathbb R^N)$ 的解 $u(x,t)$ 的传播剖面,其中 $f(u)$ 为多稳态型:$f(0)=f(p)=0$, $f'(0)<0$, $f'(p)<0$,$p$ 为正常数,且 $f$ 在区间 $(0, p)$ 内可能有有限多个非退化零点。初值函数类 $u_0$ 特别包含那些非负且在无穷远处衰减至 0 的函数。我们证明,若 $u(\cdot, t)$ 在 $L^\infty_{loc}(\mathbb R^N)$ 中当 $t\to\infty$ 时收敛于 $p$,则 $u$ 的长时间动力学行为由 Ducrot、Giletti 和 Matano [DGM] 引入的一维传播阶梯形所决定。例如,我们将证明在此情形下,对任意给定方向 $\nu\in\mathbb{S}^{N-1}$,$u(x\cdot \nu, t)$ 收敛于一对方称传播阶梯形,一个沿 $x\cdot \nu>0$ 方向移动,另一个为其沿相反方向 $x\cdot\nu<0$ 移动的反射。我们的方法依赖于引入“径向阶梯形解”这一概念,即 $V_t-\Delta V=f(V)$ 的特解 $V(|x|, t)$,使得当 $t\to\infty$ 时,$V(r,t)$ 收敛于 [DGM] 的相应一维传播阶梯形。我们证明在此设定下此类径向阶梯形解存在,且一般解 $u(x,t)$ 可被适当平移的径向阶梯形解 $V(|x|, t)$ 很好地逼近。这些将使我们得到 $u(x,t)$ 更好的收敛结果。我们强调 $u(x,t)$ 是不具备任何对称性的高维解。我们的结果表明一维传播阶梯形是相当基本的概念;它为所有空间维度中解的长时间剖面提供了基本结构与组成要素。