$\mathbb{R}$ 上具有波前状初值的时间周期反应扩散方程的动力学

本文研究柯西问题 $$u_t=u_{xx} +f(t,u), \,\,\, x\in\mathbb{R},\,t>0,$$ $$u(0,x)= u_0(x), \,\,\, x\in\mathbb{R},$$ 其中 $f$ 是关于 $t$ 周期的相当一般的非线性项，满足 $f(\cdot,0)\equiv 0$，且相应 ODE 具有正周期解 $p(t)$。假设 $u_0$ 是波前状的，即 $u_0(x)$ 在 $x\approx -\infty$ 时接近 $p(0)$、在 $x\approx \infty$ 时接近 $0$，我们旨在利用 Ducrot、Giletti 和 Matano（2014）引入的传播阶地（propagation terrace）概念来确定解 $u(t,x)$ 的长时间动力学行为。我们建立了一大类非线性项传播阶地的存在性与唯一性，并证明了在 $f$ 或 $u_0$ 的各种条件下解 $u(t,x)$ 当 $t\to\infty$ 时收敛于该阶地。我们首先考虑 $u_0$ 为海维赛德型函数的特例，并在不要求 $f$ 任何非退化性的情况下证明收敛结果。进一步，若 $u_0$ 更一般，可被两个海维赛德型函数夹逼但不必单调，我们表明在 $f$ 上相当温和的非退化假设下收敛结果依然成立。最后，在 $f$ 为非退化多稳态非线性项的情况下，我们对更大一类波前状初值证明了全局且指数收敛。