无界区间上具有 Robin 边界条件的反应扩散方程解的长时间行为

我们研究如下方程解在 $t\to\infty$ 时的长时间行为：$$\left\{ \begin{array}{ll} u_t = u_{xx} + f(u), & x>0, \ t >0,\\ u(0,t) = b u_x(0,t), & t>0,\\ u(x,0) = u_0 (x)\geqslant 0 , & x\geqslant 0, \end{array} \right.$$ 其中 $b\geqslant 0$ 且 $f$ 是一个非平衡双稳非线性项。通过研究类型为 $\{ \sigma \phi \}_{\sigma >0}$ 的初值族（其中 $\phi$ 属于一类适当的非负紧支撑函数），我们展示了消失与传播之间的尖锐阈值。具体而言，存在某个值 $\sigma^*$，使得对于任何 $0 < \sigma < \sigma^*$，解一致收敛于 0；而对于任何 $\sigma > \sigma^*$，解局部一致收敛于一个正稳态。在阈值情形 $\sigma= \sigma^*$ 下，解的轮廓以某种平移趋近于对称递减的基态，该平移可以是有限的也可以是无限的。在后一种情况下，平移演化为 $C \ln t$，其中 $C$ 是我们显式计算出的正常数，因此解以脉冲状形状行波传播，但其渐近速度为零。取决于 $b$，在某些情况下也取决于初值的选择，我们证明了一种或两种情况均可能发生。