实线上具收敛初值的抛物方程解的大时间行为 II：无穷远处极限相等

我们继续研究实线上半线性抛物方程 $u_t=u_{xx}+f(u)$ 的有界解，其中 $f$ 是 $\mathbb{R}$ 上的局部 Lipschitz 函数。假设解的初值 $u_0=u(\cdot,0)$ 当 $x\to\pm\infty$ 时有有限极限 $\theta^\pm$，我们的目标是刻画 $u(x,t)$ 当 $t\to\infty$ 时的渐近行为。在先前工作中，我们证明了若两个极限不同，则解是拟收敛的，即其当 $t\to\infty$ 时所有局部一致极限剖面都是稳态。已知若极限相等：$\theta^\pm=\theta_0$，该结果一般不成立。本文中，我们更细致地考察等极限情形。在对非线性作轻微非退化假设下，我们证明若要么 $f(\theta_0)\ne0$，要么 $f(\theta_0)=0$ 且 $\theta_0$ 是方程 $\dot \xi=f(\xi)$ 的稳定平衡，则解是拟收敛的。若 $f(\theta_0)=0$ 且 $\theta_0$ 是方程 $\dot \xi=f(\xi)$ 的不稳定平衡，我们也证明了一个拟收敛定理，其中（必然地）对 $u_0$ 作了附加假设。我们拟收敛定理证明的主要要素——也是一个具有独立意义的结果——是将某一类型的整体解分类为稳态以及两组不相交稳态之间的异宿连接。