拟线性抛物方程解的稳定性

我们将$u_t = a\Delta u+\Div_x f+h$与$v_t = b\Delta v+\Div_x g+k$的解$u$和$v$（其初值分别为$\phi$和$\psi$）之差界定为$\Vert u(t,\cdot)-v(t,\cdot)\Vert_{L^p(E)}\le A_E(t)\Vert \phi-\psi\Vert_{L^\infty(\R^n)}^{2\rho_p}+ B(t)(\Vert a-b\Vert_{\infty}+ \Vert \nabla_x\cdot f-\nabla_x\cdot g\Vert_{\infty}+ \Vert f_u-g_u\Vert_{\infty} + \Vert h-k\Vert_{\infty})^{\rho_p} \abs{E}^{\eta_p}$。此处所有函数$a$、$f$和$h$均光滑有界，且可依赖于$u$、$x\in\R^n$和$t$。函数$a$和$h$还可额外依赖于$\nabla u$。确定解$v$的函数满足相同的假设。此外，假设$E\subset\R^n$为有界集，$\rho_p$和$\eta_p$为依赖于$n$和$p$的分数。扩散系数$a$和$b$假设为严格正，且初值光滑。